\section{Zum Josephspfennig (VD 1/2009)}

Michael führt mit seinem Beitrag aus der Unterhaltungs--Mathematik den Elektronen--Rechner auf seine ursprüngliche Bestimmung zurück, nämlich auf die Anfertigung numerischer Berechnungen. Und Forth hilft ihm dabei. Er führt (aus der von ihm aufgespürten und übersetzten Literaturquelle) an:

Aus 1 Pfennig im Jahre 0 zu 5\% mit Zins und Zinseszins ergab sich im Jahr 2003 der rechnerische Betrag von:

{\footnotesize 27.679.996.896.051.261.677.068.884.476.135.650.875.110,12 DM.}

Damit sollte (natürlich wohl) nicht behauptet werden, dass der wahre Ergebniswert $x$ zwischen

{\footnotesize 27.679.996.896.051.261.677.068.884.476.135.650.875.110,11 DM}\\
und \\
{\footnotesize 27.679.996.896.051.261.677.068.884.476.135.650.875.110,13 DM}

liegt? 

In Physik und Technik ist man, gerade bei solch langen Zifferreihen, an die Angabe eines (exakten) Fehlerintervalls gewöhnt. 

Selbstverständlich wird man aus den obigen Ergebnissen heraus z.~B.\ davon ausgehen dürfen (?), dass

{\footnotesize 27.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,00 DM}\\
$< x <$\\
{\footnotesize 28.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,00 DM}

Gibt es, so meine Frage, ein gangbares Verfahren, (mit Forth--Mitteln) eine genauere Aussage zu erreichen?

In Mathematik und Physik (und nicht nur dort) hat man sich daran gewöhnt, zu \emph{idealisieren} und die Idealisierungen (unter Abstrich von mehr oder weniger gerechtfertigten \emph{Vernachlässigungen}) als erste Näherungen zu betrachten. Nehmen wir in diesem Sinne also mal an, dass das Kapital nach Ablauf eines Jahres genau 1,05 mal so viel wie am Anfang des Jahres beträgt, dass also auch Pfennigbeträge bei der Verzinsung penibel berücksichtigt werden. Zur schnellen (ungefähren) Überprüfung liegt der (theoretische) Ansatz
$$x = delog(2003*log(1,05))$$
nahe. Der Taschenrechner von Windows 95 liefert (wobei sich kein Unterschied zwischen log und ln ergab):
$$x = 2,767999689616e+42 , $$
der von Windows XP liefert 
$$x = 2,7679996896157634534421221977464e+42 .$$

Enorm, der von vielen hochgejubelte \emph{Fortschritt} von 95 zu XP! Aber was soll's: Das (gleich folgende) Argument bleibt dasselbe. Vergleicht man egal welches dieser beiden Ergebnisse mit der Angabe bei Michael, könnte man zu der Annahme verleitet werden, dass auf jeden Fall zumindest

{\footnotesize 27.679.996.896.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,00 DM}\\
$< x <$ \\
{\footnotesize 27.679.996.897.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,00 DM}

ist. Ist eine solche Annahme gerechtfertigt? Hebt sich eine solche Annahme belegbar aus einer Art subjektiver Wahrscheinlichkeit (einer plausiblen, aber unbegründbaren Vermutung) heraus?

Könnte man bei solchen Untersuchungen vielleicht die Befehle und die 80--Bit--Register der FPU der PC--Kompatiblen ab dem 486er sinnvoll einsetzen? Sollte man? Oder bringt das nichts? Mit der Steuerung der Gleitkomma--Befehle von Turbo--Forth aus habe ich mich (unter Berufung auf C.H. Ting) 1998 beschäftigt (VD--Heft 1/1998). In mein Transputer--Forth F--TP 1.00 (auf taygeta.com) hatte ich sie zu dieser Zeit schon eingebaut. Ein VD--Artikel, der aus den bei Conklin and Rather angegebenen 55 Gleitkomma--ANS--Forth--Befehlen (die alle mit F beginnen) schöpft, ist mir leider noch nicht begegnet. Vielleicht ist das aber auch meiner Aufmerksamkeit einfach nur entgangen (?)

Der Übergang beim Josephspfennig zur echten Zinseszinsrechnung, also zum kontinuierlichen Zinszuschlag, d.h. zur Exponentialfunktion, liegt nahe. (Damit hätte man auch einen Zugriff beispielsweise zur Berechnung des Spannungsabfalls beim Goldcap--Kondensator (ein Kondensator ist kein Akku, aber zur Überbrückung eines kurzen Netzaussetzers würde er reichen) oder zur Halbwertbestimmung der Reststrahlung beim radioaktivierten Kohlkopf aus der weiteren Umgebung von Tschernobyl.) Gleitkomma--Befehle sind eine gute Sache, aber zum Aufbau der e--Funktion wird eine ganze Folge von ihnen benötigt. Ich habe mich vor einiger Zeit unter Einbeziehung von FPU--Assembler--Befehlen mit der Aufbereitung der e--Funktion für Turbo--Forth und ZF beschäftigt. Vielleicht stelle ich das mal gelegentlich in die Vierte Dimension --- und beziehe mich als Motivation auf den Josephspfennig. Dass die e--Funktion ein wichtiger Bestandteil eines Digital--Differential--Analyzers (zur Lösung von Differentialgleichungen) ist und dass ich mich von dem Gedanken nicht lösen kann, sowas mal mit den heutigen Maschinen--Kapazitäten unter Forth in Angriff zu nehmen, sei nur nebenbei bemerkt.

\hfill                                            Fred Behringer