\section{Quersummen--Aufgabe: Kürzestes Forth--Programm}


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Wir kennen alle mindestens zwei literaturbekannte Aufgaben, bei deren
Lösung ein genügend langes Durchrechnen zur Erhärtung einer Vermutung
und damit zur Ideenbildung für den Beweis beitragen kann: (1) Gibt es
unendlich viele Primzahlzwillinge $(p, p+2)$? (2) Gegeben eine natürliche
Anfangszahl $m(1)$ und die Vorschrift \glqq $m(n+1) = m(n)/2$ bei geradem $m(n)$
und $m(n+1) = 3*m(n)+1$ bei ungeradem m(n)\grqq, endet der Prozess dann immer
mit der Schleife $2,1,4,2$, oder gibt es andere Schleifen oder gibt es
auch den Fall, dass der Prozess überhaupt nicht endet?

Hier eine Aufgabe von ähnlichem Charakter: Wer schreibt das kürzeste
(nicht notwendig schnellste) High--Level--Forth--Programm zur Berechnung
der fortgesetzten Quersummen im gleich folgenden Problem oder/und wer
liefert einen Beweis dafür, dass bei beliebig vorgegebener natürlicher
(d.~h.\ positiv--ganzzahliger) Zahl $n$ von Dreiergruppen der Prozess immer
mit einer $1$ als \emph{Rest} endet?

Alle Zahlen seien nicht--negative Ganzzahlen in Dezimaldarstellung (mit
den Ziffern $0\ldots 9$). Unter $QS(x)$ sei die Quersumme der Dezimalzahl $x$ zu
verstehen, also die Summe der in $x$ auftretenden Dezimalziffern.
Natürlich kann man von einer Quersumme (als Dezimalzahl dargestellt)
wieder die Quersumme bilden, $QS(QS(x))$, usw. 

Vorsicht: Der Begriff der Quersumme ist in dieser Aufgabe ganz stark von
der Voraussetzung abhängig, dass die Zahl, von welcher die Quersumme
gebildet werden soll, in Dezimaldarstellung vorliegt. 

Man betrachte die Reihe:
 $$1\ +\ 2+3+4\ +\ 5+6+7\ +\ 8+9+10\ +\ \ldots$$

Viele würden das \emph{eleganter} mit einem Summenzeichen und einer liegenden
Acht darüber schreiben --- und sich vielleicht was dabei denken. In
Anlehnung an Goethe: \glqq Wo sich eine mathematische Formel hinschreiben
lässt, müsste doch eigentlich auch ein mathematischer Begriff
dahinterstecken?\grqq\ Ja, schon --- aber:

Diese Reihe (ausgedrückt durch das ...) ist natürlich divergent (hat gar
keine \emph{Summe}\/). Das soll uns aber wenig kümmern. Wir interessieren uns
nur für die wie folgt aufeinanderfolgenden Partialsummen:
\begin{small}
\begin{eqnarray*}
S0 &:= &1 \\
S1 &:= &1\ +\ 2+3+4\\
S2 &:= &1\ +\ 2+3+4\ +\ 5+6+7\ \\
S3 &:= &1\ +\ 2+3+4\ +\ 5+6+7\ +\ 8+9+10\\
S4 &:= &1\ +\ 2+3+4\ +\ 5+6+7\ +\ 8+9+10\\ 
   &   &\phantom{1\ }+\ 11+12+13\\
S5 &:= &1\ +\ 2+3+4\ +\ 5+6+7\ +\ 8+9+10\\
   &   &\phantom{1\ }+\ 11+12+13\ +\ 14+15+16\\
\cdots&&\\
\cdots&&\\
Sn &:= &1\ +\ 2+3+4\ +\ 5+6+7\ +\ 8+9+10\\
   &   &\phantom{1\ }+\ 11+12+13\ +\ 14+15+16\ +\ldots\\
   &   &\phantom{1\ }+\ 3*(n-1)+3*(n)+3*(n+1)
\end{eqnarray*}
\end{small}

und so weiter, für alle natürlichen Zahlen $n$. Man bilde\medskip

\begin{small}
\setlength{\tabcolsep}{0.8mm}
\begin{tabular}{rclcrlrclrlc}
$QS( S0)$ &$=$& $QS(   1) $&$=$& $ 1$\\
$QS( S1)$ &$=$& $QS(  10) $&$=$& $ 1$\\
$QS( S2)$ &$=$& $QS(  28) $&$=$& $10$ &\ $QS(10)$ &$=$&  $1$\\
$QS( S3)$ &$=$& $QS(  55) $&$=$& $10$ &\ $QS(10)$ &$=$&  $1$\\
$QS( S4)$ &$=$& $QS(  91) $&$=$& $10$ &\ $QS(10)$ &$=$&  $1$\\
$QS( S5)$ &$=$& $QS( 136) $&$=$& $10$ &\ $QS(10)$ &$=$&  $1$\\
&&&$\cdots$&&\\
$QS(S17)$ &$=$& $QS(1378) $&$=$& $19$ &\ $QS(19)$ &$=$& $10$ &\ $QS(10)$ &$=$& $1$\\
&&&$\cdots$&&
\end{tabular}
\end{small}

Behauptung: Die fortgesetzten Quersummen enden bei beliebig vorgegebener
natürlicher Zahl $n$ immer mit $QS(10) = 1$ . 

(Dass der Prozess bei beliebig vorgegebenem n irgendwann mal abbrechen
muss, halten wir alle noch für unmittelbar klar und selbstverständlich.
Woher nehmen wir aber die Gewissheit, dass die vorletzte Quersumme bei
genügend großem n nicht mal beispielsweise $QS(17) = QS(8) = 8$ ist? Wir
können ja nicht bis in alle Ewigkeit --- die Ewigkeit ist ein
theologischer Begriff --- abzählen und durchrechnen. Auch ein künftiger
Quantencomputer nicht. Hier wird kein Computer, hier wird kein Rechnen,
hier wird Überlegung verlangt. Der Computer kann uns aber dabei helfen,
einen Weg zum Beweis zu finden. An welcher Stelle im gesuchten
Forth--Programm zur Berechnung der fortgesetzten Quersummen erleichtert
die obige Behauptung, wenn sie stimmt, das Verfahren?)

PS: Zum gesuchten High--Level--Forth--Programm gehört natürlich auch die
Aufgabe, die Quersumme einer Dezimalzahl zu berechnen. Eine Vorstufe
dazu wäre sicher, die Anzahl der Einsen in einer Binärzahl zu finden. Zu
diesem Thema hat es in der VD (und in der Forthwrite) mal einen Artikel
gegeben. Aber mit \emph{High--Level} war da nicht durchzukommen.

\hspace*{\fill}Fred Behringer