\section{Eine ganz andere Lösung für das Problem Euler 9}

Ihr müsst wissen, auf dem College besuchte ich den Mathematik--Hauptunterricht. Mathe interessierte mich immer schon. Und von dem einen der wenigen Mathematiker hier in der SVFIG (Silicon Valley Forth Interest Group) erhielt ich einen Tip für zwei Bücher von Roger B. Nelsen \emph{Proof Without Words}, einem Professor am Lewis \& Clark College, der die Bücher so um 1993 geschrieben hat --- sie sind noch immer im Handel (Amazon). Es ist eine Sammlung verschiedener grafischer und optischer Beweise, von unterschiedlichsten, teil historischen, aber auch modernen Autoren wie Euklid, Dudeney, und natürlich Nelsen selbst. Ich hatte das Buch fast schon vergessen, und war nun glücklich, auf der Seite 141 des ersten Bandes den Titel \emph{Pythagorean Triples via Double Angle Formulas} von David Houston vorzufinden. Dort sieht man zwei Zeichnungen rechtwinkliger Dreiecke. In der ersten ist die kurze Seite mit $n$ bezeichnet, die lange mit $m$ und der Winkel zwischen $m$ und der Hypotenuse mit $\theta$. $m$ und $n$ sind ganze Zahlen $m>n>0$ und zwei Ausdrücke stehen daneben:
\begin{eqnarray*}
\sin \theta & = & \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}}\\
\\
\cos \theta &  = & \frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}}
\end{eqnarray*}

Das ist mir klar.

Das zweite Dreieck ist auch rechtwinklig, aber seine Seiten wurden so benannt: $2 m n$, $m^2 - n^2$, und $m^2 + n^2$.

Die Seite $2 m n$ liegt vertikal gegenüber dem Winkel $2\theta$, der von der anderen Seite und der Hypotenuse gebildet wird. Nun behauptet der Autor Folgendes:
\begin{eqnarray*}
\sin 2\theta &=& \frac{2 m n}{m^2 + n^2}\\
\\
\cos 2\theta &=& \frac{m^2 - n^2}{m^2 + n^2}
\end{eqnarray*}

was aus den Bezeichnungen der Seiten offensichtlich ist.

Alles, was ich tun musste, war $n=1$ zu setzen und probeweise $m=2$, $3$ und $4$ in diesem  zweiten Dreieck, um zum Tripel $8$, $15$, $17$ zu kommen, um zu erkennen, dass $8+15+17=40$ ist. Und weil $40=1000/25$ ist, folgt, dass schon das dritte Tripel multipliziert mit $25$ die Lösung für Euler 9 darstellt, also $200$, $375$, $425$.

Viele Grüße, Henry\hspace*{\fill}(Übersetzung: M.~Kalus)

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\hfil\includegraphics[width=0.9\columnwidth]{2008-03/pyttriplet}