\section{Zu den \emph{Galois-Feldern} von Jens Storjohann (VD-Heft 3/2006)}

Der Artikel von Jens Storjohann gefällt mir gut. Jens hat seine ganze
Liebe zur Mathematik in diesen Artikel gepackt. Wenn man beiläufig
erfährt, dass gewisse nichtalltägliche mathematische Strukturen dazu
beitragen, Übertragungen von und zu Zip-Laufwerken durch redundante
Codierung fehlerfrei zu halten, dann ist das eine gute und praktische
Anwendung auch ausgefallener Seiten der Mathematik. Wenn man von Jens
erklärt bekommt, dass Forth dabei helfen kann, solche ungewohnten
Strukturen in den Griff zu bekommen, dann ist das eine gute und
praktische Anwendung von Forth.

Bei der automatischen Fehlerkorrektur kommen Galois-Felder (endliche
Körper) vor. Galois-Felder können über (irreduzible) Polynome eingeführt
werden. Algebraische Polynome dürfen nicht mit Polynomfunktionen der
Analysis verwechselt werden. Die Frage nach der Bedeutung der
Unbestimmten X bei algebraischen Polynomen ist sinnlos. Es kommt nur auf
die Koeffizienten an. Die Unbestimmte hat lediglich symbolischen
Charakter und erleichtert uns das Merken der Zusammenhänge (beim
Multiplizieren so tun, als ob es sich um Polynomfunktionen handelt).
Jens erklärt es uns.

Jetzt wird uns auch klar, warum man bei den komplexen Zahlen $a+ib$ nicht
nach der Bedeutung der Plusverknüpfung fragen sollte. Und das i als
Wurzel aus $-1$ ist sowieso absurd: Erst erklärt man die Vorzeichenregeln
(per definitionem!) so, dass $+$ mal $+$ und auch $-$ mal $-$ das Vorzeichen $+$
ergeben, und dann sucht man nach einer \emph{Zahl}, deren Quadrat $-1$ ist.

Will man \emph{sauber} arbeiten, dann braucht man ja komplexe Zahlen nur als
2-dimensionale reelle Vektoren aufzufassen. Die Addition ist die übliche
Vektoraddition, $(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$, und als Multiplikation verlangt
man $(a,b)*(c,d) = (a*c - b*d, a*d + b*c)$. Da ist nichts Verbotenes dran,
nichts Imaginäres, nichts Unvorstellbares. Es gibt andere
\emph{Vektormultiplikationen}, die in Mathematik, Physik und Technik eine
Rolle spielen, und in der Gaußschen Zahlenebene werden komplexe Zahlen
ja sowieso als Punkte in der Ebene (identifizierbar mit Ortsvektoren)
dargestellt. Gehen wir also wie Jens mit seinen Polynomen vor und
vergessen wir $+$ und $i$ in $a+ib$!

Jens regt uns mit seinem Artikel zum Nachdenken an. Danke Jens.

\hfill Fred Behringer